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Boletín Técnico

versión impresa ISSN 0376-723X

IMME v.43 n.1 Caracas mar. 2005

 

CÁLCULO APROXIMADO DEL DIAGRAMA MOMENTO-ROTACIÓN PARA TUBOS CUADRADOS DE PARED DELGADA SOMETIDOS A FLEXIÓN MONOTÓNICA

Antonio Sarcos Portillo1, José A. Delgado2 e Hildrun García Legl3

1Magíster en Ingeniería. Profesor Titular del Dpto. de Estructuras. Coord. de Post-Grado en Ingeniería Estructural. Fac. de Ingeniería. Universidad del Zulia. e-mail: asarcos@luz.ve

2Magíster en Ingeniería. Becario Docente del Dpto. de Estructuras de La Facultad de Ingeniería de La Universidad del Zulia.

3 Magíster en Ingeniería. Asistente de Investigación. Dpto. de Estructuras. Universidad del Zulia. e-mail: garcialegl@yahoo.es

Resumen

Cuando los elementos tubulares de acero se encuentran sometidos a fuertes excitaciones de naturaleza estática o dinámica, se pueden producir pandeos localizados capaces de ocasionar la pérdida de resistencia y rigidez e incluso el colapso del elemento.

Este trabajo tiene como finalidad principal proponer una metodología aproximada para el cálculo de los diagramas Momento-Curvatura y Momento–Rotación para elementos tubulares de acero de sección cuadrada con relación lado-espesor superior a 30 despreciando la interacción entre la barra y el nodo, que puedan ser utilizados como modelos de comportamiento de un elemento estructural sometido a flexión en softwares de análisis.

Palabras Clave: Pandeo local, Deformación crítica, Post-pandeo, Flexión Monotónica.

APPROXIMATED CALCULATION OF THE MOMENTUM-ROTATION DIAGRAM FOR SQUARE PIPES DUE TO MONOTONIC FLECTION

Abstract

When tubular steel elements are subject to strong excitements of static or dynamic nature local buckling can be produced able to cause the resistance loss and stiffness loss and even the collapse of the elements.

This work has as main purpose to propose an approximate methodology for the calculation of the moment – curvature and moment – rotation diagrams for tubular steel elements of hollow section with relationship side – thickness greater than 30, which can be used as behavior models of beam elements in analysis programs.

Keywords: Local buckling, Critical strain, Post-buckling, Monotonic bending.

Recibido: 24/05/04   Revisado: 18/10/04   Aceptado: 12/04/05

1.  INTRODUCCIÓN

La mayoría de las estructuras de acero construidas con elementos tubulares tales como: viviendas, edificios, armaduras, plataformas marinas, entre otras, pudieran en algún momento de su vida útil, estar sometidas a excitaciones fuertes tales como sismos, oleaje, viento, entre otros, que pudieran ocasionar daños considerables en los elementos estructurales. Para obtener las respuestas de este tipo de estructuras cuando se encuentran sometidas a esas fuerzas extremas, es necesario contar con el comportamiento de los elementos tubulares sometidos a flexión creciente con y sin participación de la fuerza axial.

La necesidad actual de construir edificaciones de bajo costo, de fácil y rápida construcción, ha llevado a utilizar elementos tubulares de acero en la construcción de edificaciones y viviendas familiares, los elementos estructurales utilizados presentan en su mayoría una relación lado-espesor, para secciones cuadradas y una relación diámetro-espesor, para secciones circulares, superior a 30 (secciones estructurales CONDUVEN). Esto podría ocasionar pandeo localizado, cuando estos elementos se encuentren sometidos a deformaciones grandes.

En este trabajo se propone una metodología aproximada para el cálculo del diagrama momento-rotación de elementos tubulares cuadrados de acero sometidos a flexión monotónica, considerando el pandeo localizado en la zona elástica o inelática y proponiendo el cálculo del comportamiento del tubo en el post-pandeo. Esta metodología podría ser utilizada para predecir el colapso de estructuras construidas con este tipo de elementos cuando se encuentren sometidos a excitaciones fuertes.

2.  DIAGRAMA MOMENTO-CURVATURA

En años anteriores muchos trabajos se han realizado para proponer un comportamiento de secciones tubulares circulares sometidas a flexión creciente y monotónica. Tal es el caso de los trabajos desarrollados por [1] en los cuales se estudió el comportamiento de tubos circulares de acero luego del pandeo localizado.

Basado en el comportamiento de tubos circulares sometidos a flexión creciente [1, 2, 3 y 4] se obtuvo el gráfico Momento (M) vs. Curvatura (F) para tubos cuadrados (ver figura 1).

Figura 1. Diagrama Momento-Curvatura para un tubo cuadrado de espesor 3 mm y lado 10 cm, obtenido en este trabajo

En el gráfico se observa que en las zonas I y II la sección transversal del tubo permanece inalterada, para la zona I se tendrá un comportamiento lineal entre el esfuerzo y la deformación en la sección transversal del tubo, mientras que la zona II existirá un comportamiento no lineal hasta alcanzar una deformación crítica a compresión máxima(Єcrít.), una curvatura crítica (Fcrít.) en la sección, y un momento máximo (Mmáx.). A partir de este instante, al seguir incrementando la deformación, se producirá un pandeo localizado en el tubo, a partir del cual se comenzará a perder resistencia y rigidez [5 y 6].

En este trabajo se propone una metodología para calcular la gráfica Momento vs. Curvatura para las zonas I y II y otra para la zona III (post-pandeo).

Es posible calcular el momento flector en función de la curvatura, tal que 0 < F £ Fcrít para una sección tubular cuadrada como la mostrada en la figura 2(a), obteniendo el momento con respecto al eje neutro de la sección.

Figura 2. Sección Transversal

Así, el diagrama Momento-Curvatura para una sección cuadrada de pared delgada en las zonas I y II (ver figura 1), puede calcularse a partir del equilibrio de fuerzas en la sección transversal (figura 1(a)) y suponiendo que las secciones transversales del tubo permanecen planas luego de aplicar cargas como:

 

Donde fs es el esfuerzo actuante en el acero (fs = Є * Es), donde Є es la deformación y Es es el módulo de elasticidad del acero, (ver figura 2(a)), Єc y Єt son las deformaciones a compresión y a tensión en la sección. El esfuerzo en el acero fs y fsmáx. se puede obtener en función de la curvatura Ф (ver figura 1), como:

 fs = Es * F * y £ fy                  (2)

 fsmáx. = Es * F * h/2 £ fy          (3)

Donde fy es el esfuerzo de fluencia del acero (se supone un modelo elasto-plástico para el acero).

Al incrementar la curvatura superando la curvatura crítica Fcrít. (ver figura 1). La sección transversal de la figura se distorsionará y se producirá un pandeo localizado en el elemento [6] (ver figuras 2(b), 2(c), 3(a) y 3(b)).

Figura 3a. Prueba de carga en tubo cuadrado. Elemento con carga transversal

Figura 3b. Prueba de carga en tubo cuadrado. Pandeo local del tubo

De acuerdo a estudios experimentales realizados [1], es posible demostrar que Єcrít. permanecerá aproximadamente constante para cualquier curvatura mayor que Fcrít. en la sección transversal distorsionada. Luego de realizar estudios experimentales en tubos cuadrados, se observó un comportamiento similar al de los tubos circulares, de donde se propuso el cálculo del eje neutro de la sección transversal distorsionada del tubo como:

 

Al suponer invariable el perímetro del tubo se obtiene:

Para obtener yc correspondiente a una curvatura F (suponiendo conocido Єcrít) se usa la ecuación (4), luego se inicia un proceso iterativo considerando las ecuaciones (2), (5) y (6), hasta obtener equilibrio de fuerzas internas en la sección transversal (ver figura 2b) según ecuación (7).

 

Al obtener la geometría de la sección deteriorada correspondiente a una curvatura "F" mayor a la curvatura crítica, es posible obtener su Momento correspondiente:

 

donde dA representa un diferencial del área de la sección transversal del tubo.

Con la metodología indicada anteriormente es posible obtener el diagrama Momento vs. Curvatura para un elemento de sección tubular cuadrada sometido a flexión monotónica, en la figura 1 se muestra el diagrama Momento vs. Curvatura para un tubo cuando con h = 10 cm y t = 3 mm.

3.  PRUEBAS EXPERIMENTALES

Al tomar un elemento tubular cuadrado de acero de 10 cm de lado, espesor de 3 mm y un esfuerzo de fluencia de 3550 Kg/cm2, fabricado por CONDUVEN de Venezuela y, empotrarlo en un extremo y someterlo a carga transversal creciente tal como se muestra en la figura 3a. (Ver Tabla 1), se generan diagramas de carga - desplazamiento, como las mostradas en las figuras 4(a) y 4(b).

Tabla 1. Cargas y desplazamientos generados en las pruebas

VALOR

CARGA MÁXIMA

KN

DESPLAZ. PARA

CARGA MÁXIMA

(mm)

CARGA ÚLTIMA

KN

DESPLAZ. PARA CARGA ÚLTIMA

(mm)

PRUEBA 1

15.12

37.08

5.993

246.72

PRUEBA 2

16.09

34.83

8.018

150.34

TEÓRICO

15.77

40.35

6.483

242.01

Figura 4a. Prueba de carga transversal para un tubo cuadrado de acero. Prueba 1

Figura 4b. Prueba de carga transversal para un tubo cuadrado de acero. Prueba 2

Los resultados de los ensayos se obtuvieron mediante el uso de un actuador MTS de 25 toneladas controlado a través de un ordenador.

4.  DIAGRAMA MOMENTO ROTACIÓN

Es necesario proponer una metodología para obtener el diagrama Carga vs. Desplazamiento, (P vs. δ), para una viga en cantiliver con una carga P colocada transversalmente en el extremo, así, cuando el tubo de acero se encuentra en las zonas I o II de la figura 1, cada punto de este diagrama genera un desplazamiento, el cual se obtendrá a partir de la fórmula siguiente (ver figuras 3a y 4a).

 

Así, si se selecciona una curvatura F del diagrama Momento-Curvatura en las zonas I y II, genera un punto del diagrama Momento Vs. Desplazamiento (M vs. δ) o Carga vs. Desplazamiento (P vs. δ) ya que P = M/L. Los desplazamientos, δ, correspondientes a cada curvatura F, se alcanzarán al realizar un proceso iterativo en el cual se variará el módulo de elasticidad secante equivalente, del acero para tubos cuadrados, y el esfuerzo de fluencia utilizados en la manufactura del tubo. Al terminar este proceso, se contará también con la deformación crítica (Єcrít.) o la curvatura crítica (Fcrít.) , punto en el cual se separan en el diagrama de Momento vs. Curvatura las zonas I y II de la III, (ver figura 1). Una vez calculados Єcrít y Fcrít = Єcrít/(h/2), es posible entonces construir el diagrama Momento vs. Curvatura en la zona III de la figura 1 o zona de post-pandeo del tubo, siguiendo los procedimientos antes mencionados.

Ahora cada punto en la curva del post-pandeo de la figura 1 (Zona II) genera un punto para los diagramas M vs. δ o P vs. δ. Para calcular el desplazamiento en cada punto, se propone el siguiente procedimiento.

De acuerdo a los resultados experimentales de varias secciones tubulares cuadradas, se ha observado la existencia de un punto A (ver figura 5) donde aparece el centro del pandeo local. Este punto se localiza aproximadamente a una distancia de h/2 desde el empotramiento y permanece aproximadamente constante durante todo el ensayo, no así el valor de Lp, el cual varía, permaneciendo constante hacia el final del ensayo (Ver figura 6).

Figura 5. Propuesta para la variación de la curvatura en el elemento

Figura 6. Variación de la longitud del pandeo local Lp vs. ΔB propuesta

 Lp = Lpmáx(1 - ae-ΔB)                             (10)

donde:

Lpmáx. es el valor máximo que alcanza la longitud del semi-pandeo localizado, calculado experimentalmente.

ΔB es el acortamiento que experimenta la altura de la sección transversal.

a es una constante que varía entre 0.1 y 0.8 (ver figura 5).

Para calcular los desplazamientos "δ" en el elemento tubular de acero, es necesario proponer una curva aproximada para la variación de la curvatura a lo largo de su longitud [7], (ver figura 5). El cálculo de la curvatura en las zonas I, II y la curvatura F2 (en la figura 5) pueden obtenerse mediante el siguiente procedimiento: Si se toma una curvatura Fmáx. de la zona de post-pandeo (Fmáx > Fcrít.) (Ver figura 1), a ella le corresponderá un momento M y por ende una carga P (ver figura 5). Es posible, entonces, calcular los momentos actuantes entre los puntos B y C de la viga. A cada uno de estos valores le corresponderá una curvatura según la figura 1 (Zonas I y II). Así, es posible construir la gráfica de la curvatura mostrada en la figura 5 entre los puntos B y C. Si la curvatura elegida (Fmáx.) permite que F1 se posicione en el punto propuesto en la figura 1, entonces se tendrá una zona II no lineal y una zona I lineal. En el caso en que Fmáx. sea más grande, podría suceder que no exista zona II. La variación de las curvas en las zonas III y IV son propuestas en este trabajo por las siguientes expresiones:

Donde "Z" es la fracción de Lp donde se desea calcular la curvatura y "a" es un coeficiente que genera una gama de curvas posible en la zona de la viga con pandeo local. Para a>0 se tendrá una curva cóncava. Para un valor de "a" grande, se tiende a una curva constante igual a Fmáx. y para a<0 muy pequeño se hace tender las expresiones (11) y (12) a F1 y F2, respectivamente, con una forma convexa para la curva.

Siguiendo el procedimiento antes descrito, al elegir una curvatura Fmáx > Fcrít.. se podrá contar con una gama de propuestas para el gráfico de curvatura sobre el elemento, que dependerá esencialmente de los parámetros E, fy, Lpmáx., a y a. Los valores de E y fy se pueden determinar haciendo coincidir las gráficas de desplazamientos (experimental y teórica) en las zonas 1 y 2 (ver figura 7). El valor de "a" regula el comportamiento de la gráfica teórica al inicio del pandeo local. El valor de Lpmáx. hace tender la gráfica Múlt. (momento de falla) y a genera una curva teórica tendiente a la real en el post-pandeo (ver figura 7).

Figura 7. Gráfica Momento vs. Desplazamiento Experimental y Teórica

Al realizar el proceso iterativo se obtienen: Fcrít. = 0.008, fy = 3500 Kg-f/cm2, Lpmáx. = 6.5 cm., a = 0.6 y a = 2.5.

Para calcular el momento de rotación a partir de la figura 7 en forma aproximada sólo hay que dividir el desplazamiento entre la longitud y de esta manera se obtendrá la rotación (ver figuras 8 y 9).

Figura 8. Rotación de la viga en cantiliver

Figura 9. Gráfica Momento Vs. Rotación

El procedimiento antes descrito se puede repetir hasta obtener todos los parámetros necesarios para construir el diagrama Momento vs. Rotación para tubos cuadrados con diferentes relaciones lado/espesor (h/t > 30), lo que permitiría a partir de una simple interpolación obtener los parámetros en forma aproximada para cualquier sección tubular cuadrada, generando su comportamiento monotónico a flexión.

5.  ANÁLISIS DE RESULTADOS

El gráfico de la curvatura de un elemento depende de los parámetros E, fy, Lpmáx, a y a. En general el módulo de elasticidad del acero estructural es prácticamente único y no debería cambiar para un tubo cuadrado, sin embargo, ya que su fabricación se hace a partir de un tubo de sección transversal circular, éste tendrá tensiones residuales, lo que ocasiona que la curva fuerza – desplazamiento experimental a flexión, no se comporte de forma lineal en la zona I [8], (ver figuras 1 y 7). Por lo tanto en este trabajo se estimó un módulo de elasticidad secante equivalente para la zona I de la gráfica carga – desplazamiento (Es ≈ 1.500.000 K/cm2). El valor fy se estimó en 3.500 K/cm2 lo que concuerda con el valor dado por el fabricante CONDUVEN de Venezuela. El parámetro Lpmáx se midió experimentalmente y se observó un comportamiento similar al obtenido en la figura 6 para un tubo cuadrado CONDUVEN de 10 cm de lado y 3 mm de espesor, mientras que los parámetros a y a regulan el comportamiento de la gráfica y permiten obtener una buena correlación entre los resultados teóricos y los experimentales.

Este trabajo se realizó con un segundo objetivo de generar gráficos que relacionen la carga con el desplazamiento en elementos sometidos a flexión, que puedan ser usados para obtener el comportamiento de pórticos planos sometidos a flexión creciente con comportamiento no lineal de los materiales y pandeo localizado, mediante el uso del programa de análisis ABAQUS y modelos en elementos finitos adaptados al mismo.

6.  CONCLUSIONES

Este trabajo presenta una alternativa para la determinación teórica aproximada del diagrama Momento contra Rotación para tubos de acero cuadrados, cuya relación (h/t) sea alta, sometidos a flexión monotónica. Esta herramienta podría ser de gran utilidad para la determinación de cargas últimas soportadas por estructuras tubulares de acero, y para la obtención de factores de seguridad estructural.

7.  REFERENCIAS

1. Iqbal S. Sohal, Wai Fah Chen, "Local Buckling and Sectional Behavior of Fabricates Tubes", Journal of Structural Engineering Vol. 113, No. 3, March 1987, ASCE, USA.         [ Links ]

2. Iqbal S. Sohal, Wai Fah Chen, "Local Buckling and Post buckling Behavior of tubular beam-columns". Journal of Structural Engineering, Vol 114, No. 5, May. 1988, ASCE, USA.         [ Links ]

3. Rafael Febres Cedillo, "Modelo de daño para pórticos planos de acero bajo cargas histeréticas". Tesis Doctoral, Mérida, Venezuela, 2002.         [ Links ]

4. Iglessis Pether, Medina, Samuel, López, Alexis, Febres, Rafael, Flórez-López, Julio, "Modeling of Local Buckling in Tubular Steel Frames by Using Plastic Hinges With Damages", Steel & Composite Structures, Vol. 2, No. 1, 2002, pp- 21- 34. USA.         [ Links ]

5. Siu Lai Chan, Sritawat Kitipornchai y Faris G. A. Al-Bermani, "Elasto-Plastic Analysis of Box-Beam-Columns Including Local Buckling Effects". Jounal Of Structural Engineering, Vol. 117, No. 7, July, 1991, pp- 1946 – 1963. ASCE. USA.         [ Links ]

6. C. Faella, F. M. Mazzolani, V. P. Laso, G. Rizzano, "Local Buckling of Aluminium Members: Testing and Classification", Journal of Structural Engineering, Vol. 126, March 2000, ASCE, USA.         [ Links ]

7. Sohal, Iqbal and Chen, Wai-Fah, "Local and Post-buckilg Behavior of Tubular Beam-Columns". Journal Of Structural Engineering, Vol. 114, No. 5, May. 1998. ASCE, USA.         [ Links ]

8. Jaime Marco García, "Curso Básico de Cálculo y Diseño de Estructuras Metálicas en Ordenador Adaptado al Eurocódigo 3 al LRFD (AISC)". McGraw Hill Interamericana de España. S.A.U. 2000, pp 30-35. España.         [ Links ]